스페셜 칼럼

교육 매거진스페셜 칼럼
학습지도
최수일
[수포자 방지 프로젝트] 분수는 모든 수학의 기초
2018.03.02
조회수 : 4571
우리아이에게 딱 맞는 수학 로드맵 설계를 위한 최수일 멘토의 특급 처방전

3편.분수는 모든 수학의 기초

초등학교 3학년 과정에서 배우는 분수는 그 이전에 배우는 자연수와 차이가 있다. 자연수는 크든 작든 어느 한 수를 나타내는 것이지만 분수에는 분자와 분모 각각에 수가 등장한다. 분수는 결국 수가 두 개인 셈이다. 그리고 그 두 수는 중요한 관계를 가지고 있다. 관계라는 말은 조금 어려운 수학 용어로 함수라고도 할 수 있다. 즉, 함수로까지 발전하는 것이 두 수 사이의 관계다.
초등학교 때 분수를 정확히 짚고 넘어가지 않는다면?
분수에서는 분자가 중요할까, 분모가 중요할까? ½ 을 예로 들어보자. 분모인 2가 중요할까? 분자인 1이 중요할까? 아래의 교과서 내용 중 분수의 정의를 살펴 보면 짐작할 수 있다.

분수는 처음 2개로 나눌 때 똑같이 나누어야 함을 강조하고 있다. 나눠진 2개가 같으면 그 중 하나가 ½이다. 문장에서 강조되지 않았지만 사실은 똑같이 나누어야 함을 강조하고 있다. 즉 분수는 분자가 아니라 분모를 만들 때 중요한 것이고, 일단 분모가 똑같이 나누어지면 분자는 그 개수만 세면 되는 것이다.
그러나 이후에 배우는 분수 파트에서는 학생들에게 모두 똑같은 상황 만을 제공한다. 그러다 보니 학생들은 똑같이 나눠야 한다는 것에 주의를 기울이지 않아도 분수 계산에 아무런 문제가 발생하지 않는다. 이는 우려되는 상황이다. 왜 우려되는 상황일까? 일반적으로 똑같지 않은 상황을 계속 제공하면서 분수가 이상하다고 느끼는 시행착오를 겪어야만 분수의 정의 ‘똑같아야 한다’는 개념이 강화되고 바로 선다. 하지만 우리의 교육 현실은 그러한 틈 없이 분수가 도입되고 학생들은 제대로 이해하지 못한 채 넘어가게 되면 그 여파는 고스란히 향후 중·고등학교에서 받게 된다.

분수를 제대로 이해하지 못하면 중·고등 수학에서 어떤 영향을 받을까?

확률을 예로 들어보자. 주사위 두 개를 던지는 경우의 확률 문제는 중학교 2학년 교과서에도 등장하고 고등학교 ‘확률과 통계’ 교과서에도 다루게 된다. 아래는 중학교 2학년 교과서의 예시다.

다음은 2005학년도 수능 기출 문제다

초·증등 수학 포기자 80%

주사위 두 개를 동시에 던지는 상황은 똑같다. 여기서 중요한 것은 전체 경우의 수를 구하는 방식이다.

우리나라 학생들은 대부분 6×6=36(가지)로 계산한다. 결과는 맞다. 하지만 중요한 것은 36이 장차 확률의 분모에 해당한다는 것이다. 그렇게 되면 여기서, 초등학교 3학년 때 배운 분수의 뜻에 맞는가를 확인해야 한다. 즉 36가지가 똑같은가를 따져야 한다.

문제 만을 해결하기 급급한 학생들은 오개념에 빠지기 쉽다.
위의 경우, 도출된 36가지에 대해서 36가지가 똑같은 것인지 대부분의 학생들은 따지지 않는다.
바로 여기서 문제가 발생한다. 수능 문제를 살펴보자. 한 눈이 2, 다른 눈이 4가 나오면 배수가 된다. 이런 경우를 (2, 4)와 같이 순서쌍으로 표현한다. 그런데 (4, 2)라는 것도 있다. 이것은 한 눈이 4, 다른 눈이 2가 나온 경우다.
헷갈린다. (2, 4)와 (4, 2)를 두 개로 셀 것인지 하나로 셀 것인지에 따라 답이 달라진다. 이것을 하나로 세면 ①이 답이고, 두 개로 세면 ③이 답이다. 2005학년도 수능 문항 분석표를 보면 ①에 선택한 학생이 60%, ③을 선택한 학생이 30%였다. 아쉽게도 정답은 ③이었다.
왜 두 개로 세어야만 하는가를 이해하지 못해서 오답률이 정답률을 훨씬 넘어섰기 때문에 교육적으로 큰 문제가 발생한 것이다. 이것은 무엇을 뜻하는가? 모든 학생들은 문제를 해결하기는 했지만 오개념을 가지고 있다는 의미다. 그 이유를 당시에는 필자도 잘 몰랐다. 하지만, 초등학교 3학년 분수의 정의를 보고서야 이해할 수 있었다.

최수일 멘토의 핵심 한 마디, 이것 만은 꼭! 유념하자!

초등학교 3학년 분수의 개념은 모든 수학의 기초다!

중·고등학교 교과서에 나오는 확률의 정의를 잠깐 살펴 보자.

확률은 분수로 정의되기 때문에, 그리고 수학은 일관성이 있기 때문에 초등학교 3학년 과정에 나오는 ‘분수의 정의’에 어긋나면 안 된다. 분수에서 분모가 똑같이 나누어야 하듯이 확률에서 분모에 해당하는 모든 경우의 수는 각각 일어날 가능성이 같아야 한다.
그렇다면 앞서 살펴보았던 수능 문제에서 36가지가 똑같은 가능성을 가졌느냐를 살폈어야 했고, 그렇게 되면 ③이 답이 되는 것은 당연하다.
분수를 모르는 중·고등학생은 확률 문제를 해결할 수 없다는 것 하나만으로도 초등학교 수학이 중·고등학교 수학에 기초가 됨을 이해할 수 있을 것이다.
최수일_사진.jpg
최수일
약력소개
- 수학교육연구소 소장
- 사교육걱정없는세상 수학사교육포럼 대표

- 전) 수학교육과정 개정 및 교과서 개발 참여
- 전) 교육부 학부모 수학교실 운영 사업단장
- 전) 홍익대, 인하대 수학교육과 겸임교수
- 전) 전국수학교사모임 회장
주요저서
<착한 수학>
<수학이 살아 있다>
<하루 30분 수학>
<개념연결 초등수학사전>
<중학수학사전>
<지금 가르치는 게 수학 맞습니까?>

관련된 다른 카드뉴스를 만나보세요

한줄 의견을 나눠 보세요

0개 의견이 있습니다.

(주)비상교육 학부모 커뮤니티 대표자명 : 양태회 주소 : 서울시 구로구 디지털로 33길 48 대륭포스트타워 7차 20층
사업자등록번호 : 211-87-07735 통신판매업신고번호: 제 서울구로-2731호 TEL : 1544-0554 FAX : 02-6970-6149 E-mail : momntalk@momntalk.com

Copyright © 비상교육. All rights reserved.

Family Site

비상교과서
비상교과서, 비바샘
한국어교육
마스터코리안, 마스터토픽
디지털교육
Wings, 디지털 교과서
인쇄사업
테라북스
온라인교육
수박씨
교원연수
비상 티스쿨
유아교육
EBS 누리샘, M러닝