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최수일
[수포자 방지 프로젝트] 삼각형, 불변의 법칙
2018.08.24
조회수 : 2482
우리아이에게 딱 맞는 수학 로드맵 설계를 위한 최수일 멘토의 특급 처방전

6편.기억과 이해, 그리고 삼각형의 넓이

우리나라 성인들을 대상으로 ‘삼각형의 넓이를 구하는 공식을 기억하고 있는가’를 조사해보면 기억하고 있는 경우가 많다. 그렇다면 이 성인들은 삼각형의 넓이에 대한 개념을 제대로 이해하고 있었던 것일까?

이해하면서 기억한 것은 오래 가는 법이기에 기억과 이해의 관계는 단순하지 않다. 즉, 어떤 개념을 이해하는 것이 충분할수록 장기기억화 될 가능성이 높다는 말이다.

반면, 어떤 개념에 대해 제대로 이해하지 못했더라도 장기기억에 남는 경우가 있다. 이러한 경우는 심한 충격을 받은 사건이나 여러 번 반복 학습한 결과 등이 속한다. 우리나라 성인들이 대부분 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 기억하는 경우가 많은 것은 충분한 이해를 통한 기억보다 초등학교 시절부터 중·고등학교 수학 시간에 자주 반복적으로 사용한 결과일 것이다.
초등 5학년 교과서에서는 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 어떻게 가르칠까?
일반적으로 교과서에서 삼각형의 넓이를 가르칠 때, 귀납적인 수치로 공식을 예측하도록 유도하고 있다. 아래의 그림을 살펴보자. 교과서에서는 모눈종이에 삼각형 세 개를 제시하고 밑변과 높이, 그리고 넓이를 각각 구한 표를 작성하게 한다. 모눈종이의 눈금을 세면 삼각형 ‘가’는 밑변이 6m, 높이는 3m, 넓이는 9m²임을 구할 수 있고, 6과 3으로 9를 만들려면 6X3÷2라는 계산 규칙을 발견할 수 있다. 나머지 두 삼각형에 대해서도 이와 동일하게 확인할 수 있으므로 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 (밑변)×(높이)÷2가 됨을 지도한다.

단위넓이를 이용하여 삼각형의 넓이를 알아보시오.

그러나 이 방법은 (밑변)×(높이)가 사각형, 특히 평행사변형의 넓이라는 연결성을 이용하여 아이들에게 전달하지 않았다. 또한, 2로 나눠야 하는 나눗셈 또는 ½을 곱하는 분수의 개념과도 연결하지 못하고 있다. 그러므로 수학에서 중요시하는 논리적인 구성이라고 보기에는 곤란하다.
새로운 개념을 직관적으로 지도한다면?
일반적으로 초등학교 수학 교육 과정은 직관을 중시한다는 교육철학을 담고 있다. 이에, 필자는 아이들이 처음 접하는 새로운 개념을 가르칠 때 직관을 사용하는 것에 어느 정도 동의는 할 수 있다. 하지만 그 개념으로부터 유도되거나 파생되는 개념마저 마치 새로운 공식처럼 직관적으로 지도한다고 생각해보자. 그렇게 된다면 수학을 배우는 아이들에게는 너무나 많은 개념에서 분리된 채 직관적으로 수용해야 하는 학습 부담을 안게 된다.
  • 여기서 잠깐!

    2로 나누는 개념이나 ½을 곱하는 개념에 대해서 생각 정리하기

    2로 나누는 것이나 ½을 곱하는 것은 결국 같은 계산이다. 나눗셈에서 몫의 개념을 적용하면 그 결과는 분수와 같다. 분수의 개념만 다시 살펴보면 다음과 같다. 아래의 참고 이미지는 초등학교 3학년 수학 교과서 내용 중 일부이다.

    전체를 똑같이 2로 나눈 것중의 1을 ½이라 쓰고 2분의 1이라고 읽습니다.

    삼각형의 넓이를 구하는 공식 (밑변)×(높이)÷2를 두 단계로 분리하면 ① (밑변)×(높이) ② ÷2로 생각할 수 있다. 우선 2로 나누는 이유부터 생각해보자.

    나눗셈이나 분수의 정의는 ‘똑같이’ 나눈다는 의미이다. 나눗셈의 정의나 분수의 정의는 나누는 것이나 분수를 쓸 때 ‘똑같이’ 나누는 것을 개념적으로 정의하고 있다. 2로 나누는 것은 단순히 두 개로 쪼개는 것이 아니라 ‘똑같은’ 크기로 쪼갠다는 것이다. 그러므로 그 쪼개는 대상인 ①은 똑같이 쪼개지는 사각형, 다시 말하면 사각형에 대각선을 그어 얻어지는 두 삼각형은 그 넓이가 같아야 한다는 것을 의미한다. 그런데 임의의 사각형은 대각선으로 쪼갰을 때 그 넓이가 항상 같아지지 않으므로 여기서 쪼갤 수 있는 사각형은 그 대상이 많지 않다.
    사각형 중 쪼갰을 때 넓이가 똑같은 두 삼각형이 만들어지는 것은 정사각형, 직사각형, 마름모, 그리고 평행사변형, 이렇게 4가지가 있다. 따라서 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 이들 4개의 사각형을 쪼갰을 때 만들어지는 것이다.

  • 여기서 잠깐!

    (밑변)×(높이)로 그 넓이를 구하는 사각형은 평행사변형임을 염두에 두기

    여기서 한 가지 더 짚어볼 것은 (밑변)×(높이)로 그 넓이를 구하는 사각형은 평행사변형이라는 점이다. 왜 4가지 사각형 중 평행사변형을 쪼개서 삼각형을 만들었을까? 이런 호기심 어린 의문을 품는 5학년 학생이 많았으면 좋겠다. 이 질문에 정확히 답을 하는 것은 교육과정으로 볼 때 중2에 해당하지만, 고민은 5학년에 시작해야 한다. 그래야 중2에 가서 사각형의 성질을 배울 때 정사각형, 직사각형, 마름모의 성질은 조금만 배우고 평행사변형은 너무나 많아서 지루할 정도로 배우는 이유를 깨달을 수 있을 것이다. 중2에 가면 이들 네 사각형의 관계를 배우게 되는데 평행사변형이 나머지 세 사각형을 포함하는 보다 넓은 개념이기 때문이다.

최수일 멘토의 핵심 한 마디, 이것만은 꼭! 유념하자!
반복적인 암기보다 이해가 중요하다!
앞서 안내한 내용에 대해 이해가 없어도 삼각형의 넓이를 구할 수는 있지만, 넓이에 대한 근본적인 개념, 특히 고등학교에서 다루게 될 적분 개념의 기초가 초등 수학 과정에 있다는 사실을 염두에 두자. 향후, 적분의 이해를 위해 초등 수학 교육에서 삼각형의 넓이를 그냥 반복적인 암기로 기억하지 않았으면 한다.
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최수일
약력소개
- 수학교육연구소 소장
- 사교육걱정없는세상 수학사교육포럼 대표

- 전) 수학교육과정 개정 및 교과서 개발 참여
- 전) 교육부 학부모 수학교실 운영 사업단장
- 전) 홍익대, 인하대 수학교육과 겸임교수
- 전) 전국수학교사모임 회장
주요저서
<착한 수학>
<수학이 살아 있다>
<하루 30분 수학>
<개념연결 초등수학사전>
<중학수학사전>
<지금 가르치는 게 수학 맞습니까?>

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