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최수일
[수포자 방지 프로젝트] 비의 성질과 비례식의 성질
2019.01.14
조회수 : 4637
우리아이에게 딱 맞는 수학 로드맵 설계를 위한 최수일 멘토의 특급 처방전

11편.비의 성질과 비례식의 성질

저희 아이가 수학에서 가장 고전하는 내용이 있습니다. 바로 2/4와 3/6이 같다는 것을 이해하지 못하는 것입니다. 비율에 대해 알기 쉽게 가르쳐 줄 방법이 있을까요?

초등학교 6학년이 되면서 아이들은 비(比)와 관련된 여러 개념을 배우게 됩니다.
(비, 비율, 비례식, 비례배분, 정비례, 반비례)
그리고 이 중 비를 분수로 표현한 비율은 중·고등학교 수학에 널리 사용됩니다. 직선의 기울기, 닮음비, 넓이의 비, 부피의 비, 삼각비, 미분계수 등 어려운 개념마다 비율 개념이 들어가 있습니다. 그러므로 초등 6학년에서 가장 중요한 개념은 비율이라고 할 수 있습니다.

변하지 않는 비(比)의 법칙: 비의 전항과 후항에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나눠도 비율은 같다!
예를 들면, 1:2 = 2:4 = 3:6 = 4:8 = … 입니다. 여기서 각 비를 비율로 나타내면 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, … 라는 분수로 표현되며 이들은 분자와 분모를 약분하면 모두 1/2로 같기 때문에 비가 같다는 것입니다. 이것은 분수의 성질, 즉 “분수의 분자와 분모를 0이 아닌 같은 수로 곱하거나 나눠도 분수는 같다.”는 것에 연결되어 유도되는 성질입니다.

비슷한 것으로 비례식의 성질이라는 것이 있습니다. 비례식의 성질은 “비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같다.”는 것입니다. 예를 들면, 1 : 2 = 2 : 4에서 외항의 곱은 1×4 = 4, 내항이 곱은 2×2 = 4로 같고, 3 : 6 = 4 : 8에서 외항의 곱은 3×8 = 24, 내항이 곱은 6×4 = 24로 같습니다. 그런데 초등 교과서에서 이 부분이 논리적으로 설명되지 않고 직관적인 설명으로 넘어가기 때문에 자칫 암기식 공부에 머무르고 있어 비례식의 성질을 충분히 이해하지 못할 가능성이 있습니다.
지금 초등 교과서에서는 이 부분을 축척으로 설명하고 있습니다.

축척이 1 : 50000인 지도에서 거리가 2cm인 학교에서 공원까지의 실제 거리는 100000cm입니다.
이것을 축척을 이용한 비례식으로 나타내면 1 : 50000 = 2 : 100000입니다. 이 비례식으로부터 외항의 곱과 내항의 곱은 모두 100000이므로 “외항의 곱과 내항의 곱이 같다.”는 비례식의 설명을 유도하고 있습니다. 이것은 하나의 예로 모든 것을 일반화하는 우를 범하고 있습니다. 논리적인 설명이라고 할 수 없습니다. “왜?”라는 질문에 답할 수 없습니다. 그러므로 자동적인 암기만 일어나는 학습이 되고 말 것입니다. 이 장면에서 이유를 묻지 않는 아이들도 문제지만 교과서가 논리적인 설명 없이 넘어가는 것도 문제입니다.

이 부분을 설명하는 방법은 비율을 이용하는 것입니다. a:b = c:d를 비율로 고치면 a/b = c/d가 될 것이고 양쪽에 b × d를 곱하면 a × d=b × c, 즉 외항의 곱과 내항의 곱이 같아졌습니다. 이렇게 비율을 이용한 일반화의 과정으로 설명할 수 있습니다. 비례식의 성질 또한 중·고등학교에서 문제를 해결하는 상황에서 비율이 이용되는 경우에 많이 사용되고 있기 때문에 충분히 이해하는 것이 꼭 필요합니다.
최수일 멘토의 핵심 한 마디, 이것만은 꼭! 유념하자!
변하지 않는 비례식의 개념만 익히자!
비례식의 성질은 공식이기 때문에 이용하지 않고 비례식의 개념만 가지고도 문제를 해결할 수 있습니다. 예를 들면, 2:3 = 8:x 라는 식을 보면 대부분의 아이들은 2×x = 3×8 이라고 고쳐서 문제를 해결합니다. 비례식의 성질을 사용하지요. 이럴 경우 일단 2:3이라는 비(比)의 맥락이 사라지는 단점이 있습니다. 답은 x=12라고 구했지만 왜 12가 답이냐고 물으면 답변이 옹색해집니다. 그보다는 2와 8을 비교할 때 4배를 한 것이므로 x도 3을 4배 곱한 값이므로 12라는 답을 낼 수 있습니다. 후자는 비의 맥락이 살아있기 때문에 이유를 말할 수 있다는 장점이 있습니다.
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최수일
약력소개
- 수학교육연구소 소장
- 사교육걱정없는세상 수학사교육포럼 대표

- 전) 수학교육과정 개정 및 교과서 개발 참여
- 전) 교육부 학부모 수학교실 운영 사업단장
- 전) 홍익대, 인하대 수학교육과 겸임교수
- 전) 전국수학교사모임 회장
주요저서
<착한 수학>
<수학이 살아 있다>
<하루 30분 수학>
<개념연결 초등수학사전>
<중학수학사전>
<지금 가르치는 게 수학 맞습니까?>

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